إختبار الثلاثي الثاني السنة الثالثة تقني رياضي

إختبار الثلاثي الثاني
القسم:السنة الثالثة تقني رياضي رياضيات المدة : 3ساعات

التمرين الأول : (7 نقاط)
نعتبر في مجموعة الأعداد المركبة C كثبر الحدود التالي للمتغيرz النالية:
P(z) = z3- 3iz2- 4z + 2i
1. أحسب P(i) ثم بين أنه يمكن كتابة P(z) كمايلي :
P(z) = ( z – i )( z2 + z +  ) حيث  و  عددين مركبين يطلب تعيينهما
2. حل في C المعادلة: 0= P(z)، لتكن الحلول : 0 z ، 1 z ، 2 z حيث 0 z هو الحل التخيلي الصرف ، 1 z الحل الذي جزؤه الحقيقي سالب
3. عين مجموعة الأعداد الطبيعية n بحيث يكون : (z1)n + (z2)n حقيقيا
4. ننسب المستوي إلى معلم متعامد ومتجانس (o , i , j )، ونعتبر النقط :
M , D , C , B , A التي لواحقها على الترتيب : 0 z ، 1 z ، 2 z ، 1 z + 2 z،z
حيث : z ≠ i و z ≠ 2i ، نضع W = i .
• بين أن :+(MA,MD)+2k arg(W)=
• عين المجموعة() للنقط Mحيث : arg(W) =
• عين المجموعة(’) للنقط Mحيث يكون Wحقيقيا
5.  عدد حقيقي من المجال   ، -، نعتبر التحويل النقطي في المستوي الذي يرفق بكل نقطة M ذات اللاحقة Z النقطة M’ذات اللاحقة Z’ حيث :
) + i sin )Z + (cos + i sin . (cos Z’ = 2cos
• عين طبيعة التحويلات التالية ثم أذكر العناصر المميزة لها: ، ،
• عين صورة (’) بواسطة
التمرين الثاني : (5 نقاط)
نلاحظ أن : 103=9111+1 , 103=71113 -1
نضع : A = 10(6n+2) + 10(3n+1) + 1 , B = 10(9n) + 10(6n) +10(3n) + 1
1- برهن على صحة مايلي :
• من أجل كل عدد طبيعي n فإن : A  0
• من أجل كل عدد طبيعي nفردي فإن : A  0، A  0
• من أجل كل عدد طبيعي nفردي فإن : B  0، B  0، B  0
2- في حالة n عدد طبيعي زوجي أوجد باقي القسمة الإقليدية للعدد B على : 7 ، 11 ، 13 ، 111
3- عين أنظمة التعداد التي يكون فيها : (حيث أساس النظام أصغر من 20)

التمرين الثالث : (8 نقاط)
ننسب المستوي إلى معلم متعامد ومتجانس (o, i , j ) ، ليكن (Cf)، (Cg)المنحنيان الممثلان
لـ :f وg على الترتيب في هذا المعلم (لا يطلب رسم (Cg))
1- لتكن الدالة gالمعرفة Rعلى بـ : g(x)= x +1 + e –x
*) نقبل أن : = 0+ ، برهن أن : + = وأن : -0 =
ثم إستنتج أن + =
*) أدرس تغيرات الدالة g وإستنتج إشارة g(x)
*) ليكن (T) المماس لـ : (Cg) عند النقطة A ، إذا علمت أن (T) يشمل النقطة B(0, 1)
عين إحداثيي Aثم عين معادلة لـ (T)
2- لتكن الدالة fالمعرفة بـ : f(x)=Ln( x +1 + e –x )
• برهن أن f معرفة على R
• أدرس تغيرات f
• برهن أنه يمكن كتابة f(x) على R كمايلي : f(x)= -x + Ln( xex +1 + e x )
إستنتج مما سبق وجود مستقيم مقارب() بجوار -
• أنشئ (Cf) و ()